Series numeriques
Convergence des séries, séries de référence, critères de convergence et séries alternées.
Introduction
Les séries numériques généralisent la notion de somme infinie. Elles sont essentielles pour les probabilités (séries génératrices) et l'analyse (DL, intégrales). Ce chapitre est un classique des oraux de concours.
Définitions essentielles
Définition : Série — La série de terme général uₙ est la suite des sommes partielles Sₙ = Σₖ₌₀ⁿ uₖ. On note Σ uₙ.
Définition : Convergence — La série Σ uₙ converge si la suite (Sₙ) converge. Sa somme est S = lim Sₙ.
Définition : Reste — Rₙ = S − Sₙ = Σₖ₌ₙ₊₁⁺∞ uₖ (pour une série convergente).
Définition : Convergence absolue — Σ uₙ converge absolument si Σ |uₙ| converge.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Condition nécessaire de convergence
Si Σ uₙ converge, alors uₙ → 0. Attention : la réciproque est fausse (série harmonique).
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