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Mathématiquesmp2i9 min de lectureLecture libre

Suites numériques

L'essentiel du chapitre : borne supérieure, convergence, théorèmes de limite monotone et des suites adjacentes, Bolzano-Weierstrass, suites récurrentes et méthodes de concours.

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1. Nombres réels et borne supérieure

Propriété fondamentale

Toute partie $A$ de $R$ non vide et majorée admet une borne supérieure $sup A$ : le plus petit des majorants. De même, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure. C'est cette propriété qui distingue $R$ de $Q$ (l'ensemble ${x \in Q, x^{2} < 2}$ n'a pas de borne supérieure dans $Q$ ).

Caractérisation de $sup A = M$

$M$ majore $A$ ;
pour tout $ε > 0$ , il existe $a \in A$ tel que $M - ε < a \leq M$ .

De façon équivalente, il existe une suite d'éléments de $A$ convergeant vers $M$ .

Piège : la borne supérieure n'est pas forcément un élément de $A$ . Si elle l'est, on parle de maximum. Exemple : $sup] 0, 1 [= 1$ mais $] 0, 1 [$ n'a pas de maximum.

Autres outils : partie entière $⌊ x ⌋$ (unique entier tel que $⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ ), densité de $Q$ et de $R ∖ Q$ dans $R$ , propriété d'Archimède.

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2. Convergence d'une suite

Définitions

$u_{n} \to ℓ \in R$ : $\forall ε > 0, \exists N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ε$ .
$u_{n} \to + \infty$ : $\forall A \in R, \exists N, \forall n \geq N, u_{n} \geq A$ .

Une suite convergente a une limite finie unique ; elle est bornée. Une suite qui tend vers $\pm \infty$ est dite divergente, comme une suite sans limite.

Opérations et inégalités

Somme, produit, quotient (limite du dénominateur non nulle) et valeur absolue passent à la limite. Les formes indéterminées sont $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ .

Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors $lim u_{n} \leq lim v_{n}$ .

Piège : les inégalités strictes deviennent larges par passage à la limite : $1/ n > 0$ mais la limite vaut 0.

Théorèmes de comparaison

Théorème	Hypothèses	Conclusion
Encadrement (gendarmes)	$u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ , $u_{n} \to ℓ$ , $w_{n} \to ℓ$	$v_{n} \to ℓ$
Comparaison	$u_{n} \leq v_{n}$ , $u_{n} \to + \infty$	$v_{n} \to + \infty$
Majoration par une suite nulle	$∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq α_{n}$ , $α_{n} \to 0$	$u_{n} \to ℓ$

## 3. Les grands théorèmes d'existence

Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée converge (vers $sup {u_{n}}$ ). Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ . C'est le théorème d'existence le plus utilisé : il fournit la convergence sans connaître la limite.

Suites adjacentes

$(u_{n})$ croissante, $(v_{n})$ décroissante, $v_{n} - u_{n} \to 0$ . Alors elles convergent vers une même limite $ℓ$ et $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ pour tout $n$ . Ce théorème fournit en prime un encadrement de la limite à chaque rang, précieux pour les approximations (exemple : $u_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}$ et $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n !}$ encadrent $e$ ).

Suites extraites et Bolzano-Weierstrass

Une suite extraite est $(u_{φ (n)})$ avec $φ$ strictement croissante (donc $φ (n) \geq n$ ).

Si $u_{n} \to ℓ$ , toute suite extraite tend vers $ℓ$ .
Si $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ ont la même limite $ℓ$ , alors $u_{n} \to ℓ$ .
Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.

Méthode : pour prouver qu'une suite diverge, exhiber deux suites extraites de limites différentes, par exemple $u_{2 n}$ et $u_{2 n + 1}$ pour $u_{n} = (- 1)^{n}$ .

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4. Suites usuelles

Suites géométriques et arithmético-géométriques

$q^{n} \to 0$ si $∣ q ∣ < 1$ , $q^{n} \to + \infty$ si $q > 1$ , pas de limite si $q \leq - 1$ .

Pour $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ ( $a \neq = 1$ ) : point fixe $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ , puis $u_{n} - ℓ = a^{n} (u_{0} - ℓ)$ .

Récurrences linéaires d'ordre 2

Pour $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ , on résout l'équation caractéristique $r^{2} - a r - b = 0$ :

Discriminant	Racines	Forme de $u_{n}$
$Δ > 0$	$r_{1} \neq = r_{2}$ réelles	$λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$
$Δ = 0$	$r_{0}$ double	$(λ + μ n) r_{0}^{n}$
$Δ < 0$	$ρ e^{\pm i θ}$	$ρ^{n} (λ cos n θ + μ sin n θ)$

Les constantes

λ, μ

s'obtiennent avec

u_{0}

u_{1}

Croissances comparées

Pour $α > 0$ et $a > 1$ : $ln n ≪ n^{α} ≪ a^{n} ≪ n! ≪ n^{n}$ . Également $(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x}$ .

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5. Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Méthode : plan d'étude systématique.

1. Intervalle stable : trouver $I$ avec $f (I) \subset I$ et $u_{0} \in I$ ; la suite est bien définie et reste dans $I$ .

2. Points fixes : résoudre $f (x) = x$ . Si $f$ est continue et $u_{n} \to ℓ \in I$ , alors $f (ℓ) = ℓ$ .

3. Monotonie : si $f$ est croissante sur $I$ , $(u_{n})$ est monotone, de sens donné par le signe de $f (x) - x$ (ou par la comparaison $u_{1}$ et $u_{0}$ ). Si $f$ est décroissante, étudier $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ qui sont monotones de sens contraires ( $f \circ f$ est croissante).

4. Conclusion : limite monotone + identification de la limite parmi les points fixes.

Variante quantitative : si $∣ f^{'} ∣ \leq k < 1$ sur $I$ stable contenant le point fixe $ℓ$ , l'inégalité des accroissements finis donne $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq k^{n} ∣ u_{0} - ℓ ∣$ , ce qui prouve la convergence et fournit sa vitesse (géométrique).

Piège : trouver $f (ℓ) = ℓ$ ne prouve jamais la convergence. Il faut d'abord établir l'existence de la limite (monotonie + bornes, ou majoration géométrique).

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6. Suites complexes

$z_{n} \to ℓ$ signifie $∣ z_{n} - ℓ ∣ \to 0$ , ce qui équivaut à la convergence des parties réelle et imaginaire. Les théorèmes d'ordre (limite monotone, encadrement, comparaison) n'ont pas de sens dans $C$ ; en revanche Bolzano-Weierstrass reste vrai, et $z^{n} \to 0$ si et seulement si $∣ z ∣ < 1$ .

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Méthodes de concours

Prouver une convergence : limite monotone (chercher majorant/minorant par récurrence), suites adjacentes, encadrement, majoration géométrique $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣$ .
Calculer une limite : factoriser le terme dominant, utiliser les croissances comparées, un équivalent (produit/quotient seulement), ou l'expression $e^{n l n (\cdot)}$ pour les puissances.
Prouver une divergence : suites extraites de limites différentes, ou minoration par une suite tendant vers $+ \infty$ .
Récurrence : toujours rédiger l'intervalle stable avant toute autre chose, et dessiner la « toile d'araignée » au brouillon pour conjecturer le comportement.
Approximation : le théorème des suites adjacentes donne un encadrement explicite de la limite, souvent demandé pour conclure un exercice sur $e$ , $π$ ou une série.

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Suites numériques

1. Nombres réels et borne supérieure

Propriété fondamentale

Caractérisation de $sup A = M$

2. Convergence d'une suite

Définitions

Opérations et inégalités

Théorèmes de comparaison

Théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Suites extraites et Bolzano-Weierstrass

4. Suites usuelles

Suites géométriques et arithmético-géométriques

Récurrences linéaires d'ordre 2

Croissances comparées

5. Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

6. Suites complexes

Méthodes de concours

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Derivation

Equivalents et developpements limites

Fonctions, limites et continuite

Integration

Limites, continuité, dérivabilité

Séries entières

1. Nombres réels et borne supérieure

Propriété fondamentale

Caractérisation de supA=M

2. Convergence d'une suite

Définitions

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Théorèmes de comparaison

Théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Suites extraites et Bolzano-Weierstrass

4. Suites usuelles

Suites géométriques et arithmético-géométriques

Récurrences linéaires d'ordre 2

Croissances comparées

5. Suites récurrentes un+1​=f(un​)

6. Suites complexes

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Caractérisation de $sup A = M$

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