Suites reelles
Maîtrisez les suites arithmétiques, géométriques, la convergence, la monotonie et les suites récurrentes pour les concours ECG.
Introduction
Les suites numériques sont l'un des premiers chapitres fondamentaux d'analyse. Elles interviennent dans de très nombreux exercices de concours (BCE, ECRICOME) et servent de socle à l'étude des séries et des intégrales.
Définitions essentielles
Définition : Suite numérique — Application de ℕ (ou d'une partie de ℕ) dans ℝ. On note (uₙ)ₙ∈ℕ.
Définition : Suite arithmétique — Suite vérifiant uₙ₊₁ = uₙ + r (raison r constante).
Définition : Suite géométrique — Suite vérifiant uₙ₊₁ = q·uₙ (raison q constante).
Définition : Convergence — La suite (uₙ) converge vers L ∈ ℝ si pour tout ε > 0, il existe N ∈ ℕ tel que pour tout n ≥ N, |uₙ − L| < ε.
Définition : Suite bornée — Il existe M ≥ 0 tel que |uₙ| ≤ M pour tout n.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Théorème des suites monotones bornées
Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
A retenir
: Monotone + bornée ⟹ convergente. C'est LA méthode pour prouver la convergence.
Théorème des gendarmes
Si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ pour tout n ≥ n₀ et si lim uₙ = lim wₙ = L, alors lim vₙ = L.
Théorème des suites adjacentes
Si (uₙ) est croissante, (vₙ) est décroissante, et lim(vₙ − uₙ) = 0, alors (uₙ) et (vₙ) convergent vers la même limite.
Suites extraites
Si (uₙ) converge vers L, alors toute suite extraite converge aussi vers L. Contraposée utile : si deux suites extraites ont des limites différentes, la suite diverge.
Formules clés
| Formule | Expression | |
|---|---|---|
| Terme général arithmétique | uₙ = u₀ + n·r | |
| Somme arithmétique | Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2 | |
| Terme général géométrique | uₙ = u₀·qⁿ | |
| Somme géométrique | Sₙ = u₀·(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) pour q ≠ 1 | |
| Convergence géométrique | q | < 1 ⟹ qⁿ → 0 |
| Limite classique | (1 + 1/n)ⁿ → e |
Méthodes types
Méthode : Étude d'une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)
- 1Trouver les points fixes de f (résoudre f(x) = x)
- 2Étudier le signe de f(x) − x pour la monotonie
- 3Montrer que la suite est bornée (par récurrence)
- 4Conclure par le théorème des suites monotones bornées
- 5Identifier la limite parmi les points fixes
Méthode : Calcul de limite par comparaison
- 1Encadrer la suite par deux suites de limites connues
- 2Appliquer le théorème des gendarmes
Pièges classiques
- Ne pas oublier de vérifier l'initialisation dans une récurrence
- Confondre « bornée » et « convergente » : une suite bornée n'est pas forcément convergente (ex : (−1)ⁿ)
- Attention au sens de la monotonie quand q < 0 pour une suite géométrique
- Une suite qui converge est bornée, mais la réciproque est fausse
Pour aller plus loin
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