Systemes lineaires et matrices
Opérations matricielles, inverse, pivot de Gauss, systèmes linéaires et puissances de matrices.
Introduction
Les matrices sont l'outil central de l'algèbre linéaire concrète. Elles permettent de résoudre les systèmes linéaires, de représenter les applications linéaires et sont omniprésentes aux concours (exercices de calcul et problèmes).
Définitions essentielles
Définition : Matrice — Tableau rectangulaire de nombres à n lignes et p colonnes. On note Mₙ,ₚ(ℝ).
Définition : Matrice carrée — Matrice n × n. L'ensemble est noté Mₙ(ℝ).
Définition : Matrice identité — Iₙ : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Définition : Matrice inversible — A ∈ Mₙ(ℝ) est inversible s'il existe B telle que AB = BA = Iₙ.
Définition : Déterminant — det(A) ∈ ℝ. A est inversible ⟺ det(A) ≠ 0.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Produit matriciel
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ. Le produit n'est PAS commutatif en général.
Propriétés du déterminant
- det(AB) = det(A)·det(B)
- det(A⁻¹) = 1/det(A)
- det(λA) = λⁿ·det(A) pour A ∈ Mₙ(ℝ)
- det(Aᵀ) = det(A)
A retenir
: det(A) ≠ 0 ⟺ A inversible ⟺ le système AX = B a une unique solution.
Pivot de Gauss
Méthode systématique pour résoudre AX = B et calculer A⁻¹.
Inverse d'une matrice 2×2
A = [a b; c d] ⟹ A⁻¹ = (1/det A)·[d −b; −c a] avec det A = ad − bc.
Formules clés
| Propriété | Formule |
|---|---|
| (AB)ᵀ | Bᵀ·Aᵀ |
| (AB)⁻¹ | B⁻¹·A⁻¹ |
| Tr(AB) | Tr(BA) |
| Tr(A + B) | Tr(A) + Tr(B) |
| Rang | rg(A) = nombre de pivots dans la forme échelonnée |
| Noyau | Ker(A) = {X : AX = 0} |
Méthodes types
Méthode : Résoudre un système linéaire AX = B
- 1Écrire la matrice augmentée [A|B]
- 2Échelonner par opérations élémentaires (pivot de Gauss)
- 3Résoudre de bas en haut (remontée)
- 4Paramétrer les variables libres si le système est sous-déterminé
Méthode : Calculer Aⁿ par diagonalisation
- 1Trouver les valeurs propres de A
- 2Trouver une matrice de passage P telle que A = PDP⁻¹
- 3Aⁿ = PDⁿP⁻¹
Pièges classiques
- Le produit matriciel n'est PAS commutatif : AB ≠ BA en général
- AB = 0 n'implique pas A = 0 ou B = 0
- Ne pas confondre rg(A) et det(A) : le rang peut être non nul même si det = 0
- Bien distinguer matrice ligne, matrice colonne et matrice carrée
Pour aller plus loin
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