Topologie des espaces vectoriels normés

Ce chapitre généralise aux espaces vectoriels normés (EVN) les notions de limite et de continuité vues en première année sur $\mathbb{R}$. L'enjeu : savoir ce qui reste vrai en dimension finie (presque tout) et ce qui tombe en dimension infinie.

Une norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est une application $N:E\to {\mathbb{R}}_{+}$ telle que $N(x)=0\Rightarrow x=0$, $N(\lambda x)=|\lambda |N(x)$ et $N(x+y)\le N(x)+N(y)$. On en déduit la seconde inégalité triangulaire $|N(x)-N(y)|\le N(x-y)$, qui prouve que $N$ est 1-lipschitzienne. La distance associée est $d(x,y)=N(x-y)$.

Deux normes $N,N^{\prime }$ sont **équivalentes** s'il existe $\alpha ,\beta >0$ avec $\alpha N\le N^{\prime }\le \beta N$. Elles définissent alors les mêmes suites convergentes, les mêmes ouverts, fermés, compacts et les mêmes applications continues.

Une suite $(x_n)$ converge vers $\ell$ si $\Vert x_n-\ell \Vert \to 0$. En dimension finie, convergence $⟺$ convergence de chaque coordonnée dans une base (pour les matrices : coefficient par coefficient).

• $U$ est ouvert si tout point de $U$ est le centre d'une boule ouverte incluse dans $U$. Réunion quelconque et intersection finie d'ouverts sont ouvertes.
• $F$ est fermé si son complémentaire est ouvert. Caractérisation séquentielle : $F$ est fermé $⟺$ toute suite de $F$ convergeant dans $E$ a sa limite dans $F$. Intersection quelconque et réunion finie de fermés sont fermées.
• L'intérieur $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$ ; l'adhérence $\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ ; $a\in \overline{A}$ si et seulement si $a$ est limite d'une suite de $A$. La frontière est $\partial A=\overline{A}\setminus \mathring{A}$.
• $A$ est dense si $\overline{A}=E$. Exemple à connaître : $G{L}_n(\mathbb{K})$ est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, car $A+\frac{1}{p}{I}_n$ est inversible dès que $\frac{1}{p}$ n'est pas l'opposé d'une valeur propre, donc pour $p$ assez grand.